勾股定理第一课时教学课件非常实用

发布于:2021-10-27 16:53:27

相传2500年前,毕达哥拉斯有一 次在朋友家做客时,发现朋友家的用 砖铺成的地面中反映了直角三角形三 边的某种数量关系.

我们也来观察右 图中的地面,看看有 什么发现?

数学家毕达哥拉斯的发现:

A

B

C

A、B、C的面积有什么关系? SA+SB=SC

C A

A的面 积(单位 长度) 图2-1

B的面 C的面 积(单位 积(单 长度) 位长度)

9
图2-2

9 4

18 8

B 图2-1 A B

4

C

A、B、 C面积 关系 直角三 角形三 边关系

SA+SB=SC
两直角边的*方和 等于斜边的*方

图2-2

(图中每个小方格代表一个单位面积)

探究:如图,每个小方格的面积为1个单位, 你能写出正方形A、B、C的面积吗?
B A C 图1

A的 面积
(单位长度)

B的 面积
(单位长度)

C的 面积
(单位长度)

图2
图3 A、B、 C面积 关系

4 9

9

13 34

C A

25

sA+sB=sC
两直角边的*方和 等于斜边的*方

B
图2

直角三 角形三 边关系

命题1:
如果直角三角形的两直角边长 分别是a、b,斜边长是c,那么 a2+b2=c2。

c a


b

用赵爽弦图证明

b a b a

c

a ?b
2

2

=

c

2

勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
直角三角形两直角边的*方和 等于斜边的*方. 2 2 2

a +b =c

c a


b

勾股世界
我国是最早了解勾股定理的国家之 一。三千多年前,周朝数学家商高就提 出了“勾三股四弦五”的说法。

直角三角形中 较短的直角边称为 勾 , 较长的直角边称为 股 , 斜边称为 弦 。




股 勾2 + 股2 = 弦2

毕达哥拉斯

二千多年前,希腊的毕达哥拉斯学 派证明了这个勾股定理,所以勾股定理 又被称为“毕达哥拉斯定理”,不过毕 达哥拉斯的发现比中国晚了500多年。

做一做:
A
625 P

225 P的面积 =______________ 25 AB=__________ B 20 BC=__________
AC=__________ 15

C
400

10 6

X=__________ 8
x ? 102 ? 62 ? 64 ? 8

x

2.求下列直角三角形中未知边的长:
比 一 比 看 看 谁 算 得 快 !

5 8 17

x
20

16

x

12

x

方法小结: 可用勾股定理建立方程.

练*
1.在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边 为a,b,c (1)已知a=3,b=4.则c= 5 . (2)已知c=25,b=15.则a= 20 . (3)已知c=19,a=13.则b= 8 3 . (结果保留根号) (4)已知a:b=3:4,c=15,则b= 12 .

注意:利用方程的思想求直角三角形有 关线段的长

1、如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相 对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长 为 ( ) C
A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米

3 4

2、直角三角形两条直角边的长分别为6和8, 则斜边上的中线为 5 . 3、在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,则 BC:AC:AB= 1:√3 :2 . 4、在Rt△ABC中,∠C=90°, AC=BC,则 AC :BC :AB= 1:1:√2 . 若AB=8则 AC=4 2 .又若CD⊥AB于D,则CD= 4 .
A

A D B C
B

B

2 1
C

D
A

c

2、湖的两端有A、B两点,从与BA方向成直 角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米, 则AB为 ( )

A
A.50米 B.120米 C.100米 D.130米

A
130

?

C

120

B

议一议:
如图,大风将一根木制旗 杆吹裂,随时都可能倒下, 十分危急。接警后“119” 迅速赶到现场,并决定从 断裂处将旗杆折断。现在 需要划出一个安全警戒区 域,那么你能确定这个安 全区域的半径至少是多少 米吗?

24m

9m

?

分析
3 等边△ABC的边长为a,则高AD= a 2

3 2 面积S= a 4
A

通过适当添加辅 助线构建直角三角形 使用勾股定理.
C

B

D

探究
1、求出直角三角形中未知边的长度。 B 解: ∵Rt△ABC中,∠C为直角.

6

10

∴BC2+AC2=AB2

即62+AC2=102 2=64 AC C A 为什么? ∵AC > 0 “Rt△ABC”表示 ∴AC=8

△ABC为直角三角形.

对比观察,你能验证勾股定理 的正确性吗?
b a b a c c c b c a b a a b c a b a b c a b

伽菲尔德的证法(总统证法):
a b c
c

a

b

⒈ 勾股定理是几何中最重要的定理之一,它揭 示了直角三角形三边之间的数量关系.

⒉勾股定理: 直角三角形两直角边a、b*方 和, 等于斜边c*方。
2 2 2 a +b =c

⒊勾股定理的主要作用是在直角三角形中,已 知任意两边求第三边的长。

我们知道数轴上的点有的表示有 理数,有的表示无理数,你能在数轴上 画出表示 13 的点吗? 如果能画出长为 13的线段,就能在 数轴上画出表示 13的点。容易知道,长 为 2 的线段是两条直角边都为1的直角三 角形的斜边。长为 13的线段能是直角边 为正整数的直角三角形的斜边吗?

利用勾股定理,可以得出,长为 13 的线段是直角边为正整数 2 , 3 的直角 三角形的斜边。 1、画数轴,取点A,
使OA=3; B 2、过点A画数轴的垂 线a,在a上取点B,使 AB=2 3、以点O为圆心, A C 0 1 3 4 2 OB的长为半径作弧, 弧与数轴的交点C. 点C即为表示 13 的点.

a

利用勾股定理,按照同样的方法,可以 在数轴上画出表示 1, 2 , 3 , 4 ? 的点。

你会画吗? 试试吧。

练*

A

1、在Rt△ABC中,∠C=90°;

b

c

(1)已知:a=9,b=40, 则c=_____; 41 8 (2)已知:a=6,c=10,则b=_____; (3)已知:b=5,c=13,则a=_____; 12

C

a

B

n2-1 。 (4)已知c=n2+1,b=2n,则a=____

2、飞机在空中水*飞行,某一时刻刚好飞到 一个男孩头顶正上方4000米处,过了20秒,飞 机距离这个男孩5000米,飞机每小时飞行多少 千米?
C
4000

B

4000

A

3、小明的妈妈买了一部29英寸(74厘米) 的电视机。小明量了电视机的屏幕后,发现屏 幕只有58厘米长和46厘米宽,他觉得一定是售 货员搞错了。你能解释这是为什么吗? ∵

58 ? 46 ? 5480
2 2

74 ? 5476
2

荧屏对角线大约为74厘米. ∴售货员没搞错.

我们通常所 说的29英寸或 74厘米的电视 机,是指其荧 屏对角线的长 度.

如图,有一个圆柱,它的高等于12厘 米,底面半径等于3厘米.在圆柱的底面A点有 一只蚂蚁,它想吃到上底面上与A点相对的B 点处的食物,需要爬行的最短路程是多少?(π 的值取3.14). 要求蚂蚁爬行的最短路 径,需将空间图形转化成*面 图形,即将A和B所在的相邻 的两个面展开,利用“两点之 间,线段最短”,就可求得.

梳理
1.勾股定理的内容及证明方法. 2.勾股定理作用:它能把三角形的形的 特性(一角为90度)转化为数量关系,即 三边的关系. 3.利用勾股定理进行计算要注意利用方 程的思想求直角三角形有关线段的长. 4.适当添加辅助线构建直角三角形使用 勾股定理.


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